Question

9．開口向下的拋物線y=（m²-2）x²+2mx+1的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)（-1，3）．
（1）求m的值；
（2）若此拋物線交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸方程即可求出m的兩個(gè)值，再根據(jù)開口向下取舍即可；
（2）求出二次函數(shù)與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可計(jì)算△ABC的面積．

解答 解：（1）由于拋物線y=（m²-2）x²+2mx+1的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)（-1，3），
∴對(duì)稱軸為直線x=-1，x=-$\frac{2m}{2（{m}^{2}-2）}$=-1，
解得m₁=-1，m₂=2．
由于拋物線的開口向下，所以當(dāng)m=2時(shí)，m²-2=2＞0，不合題意，應(yīng)舍去，
∴m=-1；
（2）∵m=-1，
∴y=-x²-2x+1，
令y=0，0=-x²-2x+1，
解得：x₁=-1-$\sqrt{2}$，x₂=-1+$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
令x=0，y=1，
∴OC=1，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及待定系數(shù)法，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程列出關(guān)于m的方程并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)取舍是解決問題的關(guān)鍵．