Question

12．如圖，矩形AOBC的兩條邊OA，OB的長(zhǎng)是方程x²-18x+80=0的兩根，其中OA＜OB，沿直線(xiàn)AD將矩形折疊，使點(diǎn)C與y軸上的點(diǎn)E重合．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線(xiàn)AD的解析式；
（3）若點(diǎn)P在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程可先求得OA、OB的長(zhǎng)，則可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）在Rt△AOE中可先求得OE的長(zhǎng)，則可求得BE長(zhǎng)，設(shè)BD=x，則可表示出DE，在Rt△BDE中利用勾股定理可求得x，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)AD解析式；
（3）當(dāng)P在x軸上方時(shí)，則PD⊥AD，利用△BPD∽△CDA可求得PB長(zhǎng)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)DQ、AP交于點(diǎn)F，利用A、P坐標(biāo)則可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，則AP⊥AD，利用△AOP∽△ACD可求得OP長(zhǎng)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）解方程x²-18x+80=0可得x=8或x=10，
∵OA，OB的長(zhǎng)是方程x²-18x+80=0的兩根，且OA＜OB，
∴OA=8，OB=10，
∴A（-8，0），B（0，10）；
（2）由折疊性質(zhì)可得DE=CE，AE=AC=OB=10，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴BE=OB-OE=10-6=4，
設(shè)BD=x，則CD=DE=8-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE²=BE²+BD²，
∴（8-x）²=4²+x²，解得x=3，
∴D（-3，10），
設(shè)直線(xiàn)AD解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{-3k+b=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AD解析式為y=2x+16；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，則有DP⊥DA，如圖1，連接AP、DQ交于點(diǎn)F，則F為AP、DQ的中點(diǎn)，

∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠BDP=∠CAD，且∠PBD=∠DCA，
∴△BPD∽△CDA，
∴$\frac{BP}{CD}$=$\frac{BD}{CA}$，即$\frac{BP}{5}$=$\frac{3}{10}$，解得BP=$\frac{3}{2}$，
∴OP=10-$\frac{3}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴P（0，$\frac{17}{2}$），且A（-8，0），
∴F（-4，$\frac{17}{4}$），
設(shè)Q（x，y），且D（-3，10），
∴$\frac{x+（-3）}{2}$=-4，$\frac{y+10}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得x=-5，y=-$\frac{3}{2}$，
∴Q（-5，-$\frac{3}{2}$）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，則有AP⊥AD，如圖2，連接DP、AQ交于點(diǎn)G，則G為AQ、DP的中點(diǎn)，

同理可證得△AOP∽△ACD，則$\frac{OP}{CD}$=$\frac{OA}{AC}$，即$\frac{OP}{5}$=$\frac{8}{10}$，解得OP=4，
∴P（0，-4），且D（-3，10），
∴G（-$\frac{3}{2}$，3），
設(shè)Q（x，y），且A（-8，0），
∴$\frac{x+（-8）}{2}$=-$\frac{3}{2}$，$\frac{y+0}{2}$=3，解得x=5，y=6，
∴Q（5，6）；
綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（-5，-$\frac{3}{2}$）或（5，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程、勾股定理、折疊的性質(zhì)、待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)．在（1）中求得方程的兩根是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問(wèn)，難度較大．