Question

8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC=$\frac{1}{2}$AB；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=8，求MN•MC的值．

Answer 1

分析 （1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；代入數(shù)據(jù)可得MN•MC=BM²=8．

解答 （1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線．

（2）證明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=$\frac{1}{2}$AB．

（3）解：連接MA，MB，
∵點M是 $\widehat{AB}$的中點，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{MN}{BM}$．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直徑，$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4 $\sqrt{2}$．
∴MN•MC=BM²=32．

點評 此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．