Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N，動點P從點B出發(fā)，沿射線BA以每秒

3

個長度單位運動，聯(lián)結(jié)MP，同時Q從點N出發(fā)，沿射線NC以一定的速度運動，且始終保持MQ⊥MP，設(shè)運動時間為x秒（x＞0）．

（1）求證：△BMP∽△NMQ；
（2）若∠B=60°，AB=4

3

，設(shè)△APQ的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）判斷BP、PQ、CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)MQ⊥MP，MN⊥BC和直角三角形中的兩個銳角互余以及等量代換，得出兩個角對應(yīng)相等，再根據(jù)AA，即可得出△BMP∽△NMQ；
（2）根據(jù)△PBM∽△QNM的對應(yīng)邊成比例可以求得NQ的長，求出點Q的速度，再分別用時間x表示出AP，AQ的長，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式，再分類討論：當(dāng)0＜x＜4時，AP=AB-BP=4

3

-

3

x，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+x=4+x，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x≥4時，AP=

3

x-4

3

，AQ=4+x，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；
（3）先作輔助線延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD構(gòu)建平行四邊形BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出BP、PQ、CQ之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠PBM+∠C=90°，∠QNM+∠C=90°，
∴∠PBM=∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8

3

cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4

3

cm．
∵∠C=30°，
∴MN=

3

3

CM=4cm；
設(shè)Q點的運動速度為vcm/s．
如圖1，當(dāng)0＜x＜4時，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴

NQ

BP

=

MN

MB

，
∴

vx

3 x

=

4

4 3

，
∴v=1；
如圖2，當(dāng)x≥4時，同理可得v=1．
∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如圖1，當(dāng)0＜x＜4時，AP=AB-BP=4

3

-

3

x，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+x=4+x，
∴y=

1

2

AP•AQ=

1

2

（4

3

-

3

x）（4+x）=-

3

2

x²+8

3

；
如圖2，當(dāng)x≥4時，AP=

3

x-4

3

，AQ=4+x，
∴S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

3

x-4

3

）（4+x）=

3

2

x²-8

3

；
綜上所述，y=

- 3 2 x2+8 3   (0＜x＜4) 3 2 x2-8 3   (x≥4)

；

（3）如圖1，延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD，BQ，CD，
∵BC、DQ互相平分，
∴四邊形BDCQ為平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

點評：本題考查了相似形的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形與函數(shù)的綜合應(yīng)用、勾股定理等，根據(jù)題意畫出圖形，利用時間x正確表示出題目中線段的長度是解題的關(guān)鍵．