Question

拋物線y=-x²+2（m+1）x+m+3與x軸交于A、B兩點，且

OA

OB

=

3

1

，求m的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：根據(jù)題意設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），再分兩種情況討論，A和B在異側(cè)和A和B在同側(cè)時，根據(jù)

OA

OB

=

3

1

，得出x₁=-3x₂或x₁=3x₂再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x₂和x₁的值，再代入x₁x₂中，求出m的值，再把m的值代入到原方程，求出符合條件的m的值．

解答：解：設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），當(dāng)A和B在異側(cè)時，
∵

OA

OB

=

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3×（-x₂）=-3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=-（m+1），x₁=3（m+1），
∴x₁x₂=[-（m+1）][3（m+1）]=-（m+3），
整理得：3m²+6m+3=m+3，即3m²+5m=0，
∴m（3m+5）=0，
解得：m=0，m=-

5

3

，
把m=0代入到原方程整理得：-x²+2x+3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x₁=3，x₂ =-1．
把m=-

5

3

代入到原方程整理得：-x²-

4

3

x+

4

3

=0，
整理得：3x²+4x-4=0，
△=16+4×3×4＞0，有解，
∴m=-

5

3

、m=0都符合題意．
當(dāng)A和B在同側(cè)時，

OA

OB

=

3

1

，
∴OA=3OB，
∴x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=-（m+3），
解得：x₂=

m+1

2

，x₁=

3(m+1)

2

，
∴

m+1

2

×

3(m+1)

2

=-（m+3），
整理得：3m²+10m+15=0，
∴△=100-4×3×15＜0，無解；
綜上所述，m=-

5

3

或m=0．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點問題，用到的知識點是根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax²+bx+c=0，有兩根x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，關(guān)鍵是設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，求出x的值，注意本題無解的情況．