Question

17．如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的交于點A（1，4）和點B，與y軸交于點C（0，5）．求：
（1）求點B的坐標；
（2）點P是x軸上的一動點，當PA+PB最小時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A坐標代入y=$\frac{k}{x}$求得k，把A、C的坐標代入y=ax+b求得a、b，然后兩解析式聯(lián)立方程即可求得B的坐標；
（2）作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，根據(jù)B的坐標求得B′的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式，進而求得與x軸的交點即可．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點A（1，4），
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，
∵一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過A（1，4），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)為y=-x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（4，1）；
（2）作B的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB=AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，-1），
設直線AB′的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{4m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{3}}\\{n=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$=0，解得x=$\frac{17}{5}$，
∴點P的坐標為（$\frac{17}{5}$，0）．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱-最短路線問題，掌握圖象的交點的坐標滿足兩個函數(shù)解析式是解題的關鍵．