Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A（-1，0），B（3，0），交y軸于C（0，

3

），連結(jié)AC、BC．點P為拋物線上一點，且OP恰好將△ABC的面積二等分．直線OP交邊BC于點E，過E點作EN∥AB，交AC于點N．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求點P的坐標(biāo)；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點F，使得以A，N，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）運用待定系數(shù)法求解即可．
（2）先求出△ABC的面積，可得出△OBE的面積，運用三角形面積公式求出EH，再運用三角函數(shù)求出OH，即可得出點P的坐標(biāo)；
（3）以A，N，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似有三種情況，①若∠AFN=90°②若∠ANF=90°③若∠FAN=90°，針對這種情況進行分析求解得出點F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A（-1，0），B（3，0），交y軸于C（0，

3

），
∴

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3 =c

，解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．
（2）如圖1，

∵OA=1，OB=3，OC=

3

，
∴AC=2，AB=4，BC=2

3

，
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ABC=30°，
∴S_△ABC=

4× 3

2

=2

3

，
∴S_△OBE=

3

，
過E點作EH⊥AC，垂足為H，
∴EH=

2S△OBE

OB

=

2 3

3

，
∴BH=EH•tan60°=2，
∴OH=1，
∴E（1，

2 3

3

），
∴直線OE解析式為y=

2 3

3

x，
解

y=- 3 3 x2+ 2 3 3 x+ 3 y= 2 3 3

，得

x1= 3 y1=2

或

x2=- 3 y2=-2

，
∴點P的坐標(biāo)為（

3

，2）或（-

3

，-2）．
（3）如圖2，

由（1）（2）知二次函數(shù)y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

的對稱軸為x=1，且∠ACB=90°．
∵EH=

2 3

3

，OC=

3

，AC=2，且EN∥AB，
∴

AC

AN

=

CO

EH

即

2

AN

=

3

2 3 3

∴AN=

4

3

，
①若∠AFN=90°，
∵AN的中點到對稱軸的距離大于1，而

1

2

AN=

2

3

＜1，
∴以AN為直徑的圓不與對稱軸相交，
∴∠AFN≠90°，即此時不存在符合條件的F點．
②若∠ANF=90°，當(dāng)∠NAF=60°，則F，H重合，此時∠ANF≠90°，
當(dāng)∠NAF=30°，則F，E重合，
此時∠ANF≠90°，即此時不存在符合條件的F點，
③若∠FAN=90°，作AF⊥AN交對稱軸于點F，此時，∠HAF=30°，AH=2，HF=

2 3

3

，
AF=

4 3

3

，而AN=

4

3

，
∴∠AFN=30°，
∴△ANF∽△ABC，
∴F（1，-

2 3

3

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解，特別第3小題必須分三種情況討論．