Question

5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且對(duì)角線AC為直徑，AD=BC，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB，⊙O及CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、G、M．
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）若N為MF中點(diǎn)，求證：NB是⊙O的切線；
（3）若F為GE中點(diǎn)，且DE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC為⊙O直徑，得到∠ADC=∠CBA=90°，通過(guò)全等三角形得到CD=AB，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NB=$\frac{1}{2}$MF=NF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)即可得到NB是⊙O的切線；
（3）根據(jù)垂徑定理得到DE=GE=6，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠FAE=∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式得到AE=3$\sqrt{2}$，連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC為⊙O直徑，
∴∠ADC=∠CBA=90°，
在Rt△ADC與Rt△CBA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴CD=AB，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠CBA=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）連接OB，
∵∠MBF=∠ABC=90°，
∴NB=$\frac{1}{2}$MF=NF，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵OB=OA，
∴∠5=∠4，
∵DG⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴OB⊥NB，
∴NB是⊙O的切線；

（3）∵AC為⊙O直徑，AC⊥DG，
∴DE=GE=6，
∵F為GE中點(diǎn)，
∴EF=GF=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠FAE+∠DAE=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠FAE=∠ADE，
∵∠AEF=∠DEA=90°，
∴△AEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{AE}$，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OA=OD=r，OE=r-3$\sqrt{2}$，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（r-3$\sqrt{2}$）²+6²=r²，
∴r=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，證得AEF∽△DEA是解決（3）的關(guān)鍵．