Question

12．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（1，3），C（3，1）．若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（　　）

• A． 2≤k≤3
• B． 2≤k≤4
• C． 3≤k≤4
• D． 2≤k≤3.5

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC三頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知，當(dāng)k最小是反比例函數(shù)過點(diǎn)A，當(dāng)k取最大值時(shí)，反比例函數(shù)與直線相切，且切點(diǎn)在線段BC上，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k的最小值，再由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，將其代入反比例函數(shù)中，令△=0即可求出k的最大值，從而得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)反比例函數(shù)過點(diǎn)A時(shí)，k值最小，
此時(shí)k=1×2=2；
∵1×3=3×1，
∴反比例函數(shù)圖象與直線BC的切點(diǎn)在線段BC上，
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{1=3a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
將y=-x+4代入y=$\frac{k}{x}$中，得：-x+4=$\frac{k}{x}$，
即x²-4x+k=0，
∵反比例函數(shù)圖象與直線BC只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-4）²-4k=0，
解得：k=4．
綜上可知：2≤k≤4．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是求出k的最小值與最大值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線解析式，將其代入反比例函數(shù)中利用相切求出k值是關(guān)鍵．