Question

11．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；
②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足45°條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），不用說明理由．

Answer 1

分析 （1）①證明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；
②①的結(jié)論仍成立，同理證明△DAB≌△FAC，可得結(jié)論：垂直且相等；
（2）當(dāng)∠ACB滿足45°時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，證明△QAD≌△CAF，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等，理由是：
如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，
∴∠CAF=∠BAD，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
即∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案為：垂直，相等；
②當(dāng)點D在BC的延長線上時，①的結(jié)論仍成立，理由是：
如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
（2）當(dāng)∠BCA=45°時，CF⊥BD，理由是：
如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q，
∵∠BCA=45°，
∴∠AQC=45°，
∴∠AQC=∠BCA，
∴AC=AQ，
∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，
∴∠QAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠QAD=∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AQD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，本題的三個結(jié)論都是證明三角形全等得出，所以利用SAS證明三角形全等是本題的關(guān)鍵；第（2）問，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建等腰直角三角形，同樣也是構(gòu)建兩個三角形全等得出結(jié)論．