Question

12．二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離是2，且過（2，1）、（-1，-8）兩點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把點(diǎn)（2，1）、（-1，-8）代入，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式變形相結(jié)合來解答．

解答 解：拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把點(diǎn)（2，1）、（-1，-8）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=1}\\{a-b+c=-8}\end{array}\right.$，
則b=3-a．c=-5-2a，
設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，則
x₁+x₂=-$\frac{a}$=1-$\frac{3}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{5}{a}$-2，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2，即$\sqrt{（1-\frac{3}{a}）^{2}-4（-2-\frac{5}{a}）}$=2，
整理，得5a²+14a+9=0，
解得 a₁=-$\frac{9}{5}$，a₂=-1
則b=$\frac{24}{5}$或b=4，
c=-$\frac{7}{5}$或c=-3．
故該拋物線的解析式為：y=-$\frac{9}{5}$x²+$\frac{24}{5}$x-$\frac{7}{5}$或y=-x²+4x-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．此題需要掌握根與系數(shù)的關(guān)系法與代數(shù)式變形相結(jié)合的知識(shí)．