Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若CD=4，⊙O的直徑為10，求BD的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得∠DCO=90°，則CD為⊙O的切線；
（2）過O作OF⊥AB，則∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²，從而求得AF的值，進(jìn)而就可求得BD的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四邊形DCOF為矩形，
∴OC=FD=5，OF=CD=4．
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．
∴AF=

OA2-OF2

=

52-42

=3，
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，
∴FB=AF=3．
∴BD=DF+BF=5+3=8．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．