Question

10．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)M，線段AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，過點(diǎn)M的切線交AC邊于點(diǎn)P，連接OP．
（1）求sin∠CMP的值；
（2）求證：AP=PC．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OM、AM，如圖，利用正切定義可計(jì)算出∠C=30°，再根據(jù)圓周角定理得∠AMB=90°，則∠CAM=60°，接著證明PA為⊙O的切線，而PM為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得PM=PA，所以∠PMA=∠PAM=60°，于是可計(jì)算出∠CMP=30°，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解；
（2）由∠C=∠CMP=30°得到PM=PC，加上PA=PM，所以PA=PC．

解答 （1）解：連結(jié)OM、AM，如圖，
∵∠BAC=90°，
∴tanC=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠C=30°，
∵AB為直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠CAM=60°，
∵∠BAC=90°，AB為直徑，
∴PA為⊙O的切線，
而PM為⊙O的切線，
∴PM=PA，
∴∠PMA=∠PAM=60°，
∴∠CMP=90°-60°=30°，
∴sin∠CMP=sin30°=$\frac{1}{2}$；
（2）證明：∵∠C=∠CMP=30°，
∴PM=PC，
而PA=PM，
∴PA=PC．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理．