Question

2．現(xiàn)有兩個具有一個公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB=∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M為線段BD中點(diǎn)，連接CM，EM．
（1）如圖1，當(dāng)A，B，D在同一條直線上時(shí)，若AC=1，AE=2，求FM的長度；
（2）如圖1，當(dāng)A，B，D在同一條直線上時(shí)，求證：CM=EM；
（3）如圖2，當(dāng)A，B，D不在同一條直線上時(shí)，請?zhí)骄緾M，EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可分別求得AB和AD的長，再由中點(diǎn)的定義可求得BM和BF的長，從而可求得FM；
（2）過點(diǎn)E作EN⊥BD交點(diǎn)N，由中點(diǎn)的定義可求得FN=BM，從而可求得CF=MN，同理可得到EN=FM，則可證明△CFM≌△MNE，可證得結(jié)論；
（3）取AD的中點(diǎn)H，連接EH、MH、MF，利用三角形的中位線可得MF=$\frac{1}{2}$AD=EH，HM=$\frac{1}{2}$AB=CF，可證明△CFM≌△MHE，再利用平行線的性質(zhì)可證得∠CME=∠CFA=90°，可得出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

解答 解：
（1）∵AC=BC=1，AE=AD=2，∠ACB=∠AED=90°，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=AB+AD+3$\sqrt{2}$，
∵CF⊥AB，
∴F為AB中點(diǎn)，且M為BD中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴FM=BM-BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
（2）如圖1，過E作EN⊥BD，交BD于點(diǎn)N，

∵F為AB中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，
∴FN=FA+AN=$\frac{1}{2}$（AB+AD）=$\frac{1}{2}$BD，
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$BD，
∴FN=BM，即BF+FM=FM+MN，
∴BF=MN，
又CF=BF，
∴CF=MN，
同理可得EN=FM，且∠CFM=∠MNE=90°，
∴在△CFM和△MNE中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=MN}\\{∠CFM=∠MNE}\\{FM=NE}\end{array}\right.$
∴△CFM≌△MNE（SAS），
∴CM=EM；
（3）如圖2，過E作EH⊥AD于點(diǎn)H，則H為AD中點(diǎn)，設(shè)AB與CM交于點(diǎn)O，

∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴MH∥AB且MH=$\frac{1}{2}$AB，
∵CF⊥AB，
∴F為AB中點(diǎn)，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CF=MH，
同理可得MF=HE，
∵M(jìn)H∥AB，MF∥AD，
∴∠MHA+∠BAH=∠MFA+∠BAH=180°，
∴∠MHA=∠MFA，
∵CF⊥AB，EH⊥AD，
∴∠CFA=∠EHA=90°，
∴∠CFM=∠MHE，
在△CFM和△MHE中
$\left\{\begin{array}{l}{CF=MH}\\{∠CFM=∠MHE}\\{MF=HE}\end{array}\right.$
∴△CFM≌△MHE（SAS），
∴CM=EM，∠1=∠2，
∵M(jìn)H∥AB，
∴∠BOM=∠OMH，即∠2+∠CFA=∠1+∠CME，
∴∠CME=∠CFA=90°，
∴CM⊥EM，
綜上可知CE=EM且CM⊥EM．

點(diǎn)評 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等．在（2）、（3）中構(gòu)造三角形，找到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度較大．