Question

5．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，AE=3，CE=1，BC=6．
（1）求DE的長；
（2）過點D作DF∥AC交BC于F，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，求向量$\overrightarrow{DF}$（用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示）

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，AE=3，CE=1，可得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{4}$，即可證得DE∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，即可求得DE的長；
（2）由DF∥AC，可得$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{4}$，再由三角形法則，即可求得答案．

解答 解：（1）∵AE=3，CE=1，
∴AC=AE+CE=4，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=BC×$\frac{3}{4}$=6×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{2}$；

（2）∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$．

點評 此題考查了平行向量的知識以及平行線分線段成比例定理．注意掌握三角形法則以及平行四邊形的法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．