Question

3．如圖，已知等腰Rt△ABC中，AC=BC，點D是線段AB下方一動點，且滿足∠CDB=45°，過點A作AE⊥CD交CB于點E，交CD于點F，求證：AF=DF．

Answer 1

分析 連接AD．設(shè)AB與CD相交于點G，先證明△AGC∽△DGB，由此得$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$，再證明△CGB∽△AGD，從而得∠CBG=∠ADG=45°，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)證明結(jié)論成立即可．

解答 解：如下圖所示：連接AD．設(shè)AB與CD相交于點G

∵等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDB=∠CAG=45°，
又∵∠AGC=∠BGD（對頂角相等）
∴△AGC∽△DGB
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$
又∠CGB=∠DGA（對頂角相等）
∴△CGB∽△AGD（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）
∴∠CBG=∠ADG=45°
又∠AFD=90°
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AF=DF

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用相似的判定與性質(zhì)證明∠ADF=45°．