Question

已知，在矩形中，連接對角線，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，并將它沿直線向左平移，直線與交于點，連接，．

（1）如圖①，當(dāng)，點平移到線段上時，線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的猜想；

（2）如圖②，當(dāng)，點平移到線段的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

（3）如圖③，當(dāng)時，對矩形進行如已知同樣的變換操作，線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的猜想．

圖① 圖② 圖③

 

Answer 1

（1）AH=CG,AH⊥CG；

AH=CG,AH⊥CG，理由見解析；

AH=nCG，AH⊥CG．

【解析】

試題分析：（1）延長AH與CG交于點T，如圖①，易證BH=BG，從而可證到△ABH≌△CBG，則有AH=CG，∠HAB=∠GCB，從而可證到∠HAB+∠AGC=90°，進而可證到AH⊥CG．

（2）延長CG與AH交于點Q，如圖②，仿照（1）中的證明方法就可解決問題．

（3）延長AH與CG交于點N，如圖③，易證BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，則有，也就有，從而可證到△ABH∽△CBG，則有=n，∠HAB=∠GCB，進而可證到AH=nCG，AH⊥CG．

試題解析：（1）AH=CG,AH⊥CG．

延長AH與CG交于點T，如圖①，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ATC=90°．

∴AH⊥CG．

（2）成立．理由如下：

延長CG與AH交于點Q，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，

∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．

∴∠BGH=∠EGF=45°．

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．

∴BH=BG．

在△ABH和△CBG中，

，

∴△ABH≌△CBG（SAS）．

∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．

∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．

∴∠CQA=90°．

∴CG⊥AH．

AH=nCG，AH⊥CG

理由如下：

延長AH與CG交于點N，如圖③，

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．

∵四邊形ABCD是矩形，AB=nBC，

∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．

∴∠EFG+∠ABC=180°．

∴BH∥EF．

∴△GBH∽△GFE．

∴．

∵，

∴．

∵∠ABH=∠CBG，

∴△ABH∽△CBG．

∴=n，∠HAB=∠GCB．

∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．

∴∠ANC=90°．

∴AH⊥CG．

考點：1、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)3、全等三角形的判定與性質(zhì)4、相似三角形的判定與性質(zhì)．