Question

4．如圖，在△ABC中，CE，BD為高線，M、N在BD，CE（或延長線上），且BM=AC，CN=AB．
（1）判斷AN、AM的關(guān)系．
（2）若M、N分別在DB、EC的延長線上，CE=AB，BM=AC，則仍然是否成立，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先證∠ABM=∠ACE，再證明△ABM≌△NCA（SAS），得出AM=AM，∠BAM=∠CMA，然后證出∠MAN=90°即可；
（2）先證∠ABM=∠NCA，再證明△ABM≌△NCA（SAS），可得AM=AN，∠BAM=∠CNA，再由角的關(guān)系證出∠MAN=90°即可解決問題；

解答 解：（1）結(jié)論：AN=AM，AN⊥AM
證明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABM+∠BAD=90°，∠ACE+∠BAD=90°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△NCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CA}\\{∠ABM=∠ACN}\\{AB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，
∵∠CNA+∠NAE=90°，
∴∠BAM+∠NAE=90°，
即∠MAM=90°，
∴AN=AM，AN⊥AM
（2）（1）中的結(jié)論成立；
證明：如圖2所示：由（1）得，∠ABM=∠ACE，
∴∠ABM=∠NCA，
在△ABM和△NCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AC}\\{∠ABM=∠CGN}\\{AB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCA（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CNA，
∵∠ACE=∠CNA+∠CAN，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN+∠EAC=90°，
即∠MAN=90°，
∴AM=AN，AM⊥AN．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定；證明角相等和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．