Question

2．鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個正方形，余下一個矩形，稱為第一操作，在余下的矩紙片中再剪去一個正方形，又余下一個矩形，稱為第二操作；…依此類推，若第n次操作余下的矩形是正方形，則稱矩形為n階準(zhǔn)正方形，例如邊長為1和2的矩形為1階準(zhǔn)正方形．
（1）鄰邊長分別為2和3的矩形是2階準(zhǔn)正方形；
（2）已知長為1，寬為a的矩形（$\frac{1}{2}$＜a＜1）是3階準(zhǔn)正方形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的剪法找出第一、二次操作后，余下矩形的鄰邊長，由經(jīng)第二次操作后鄰邊長相等即可得出該矩形為2階準(zhǔn)正方形；
（2）根據(jù)正方形的剪法找出第一、二次操作后，余下矩形的鄰邊長，結(jié)合該矩形為3階準(zhǔn)正方形，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）第一次操作后，余下矩形的鄰邊長為2，1；
第二次操作后，余下矩形的鄰邊長為1，1．
∴鄰邊長分別為2和3的矩形是2階準(zhǔn)正方形．
故答案為：2．
（2）∵矩形的長為1，寬為a（$\frac{1}{2}$＜a＜1），
∴第一次操作后，余下矩形的鄰邊長為（1-a），a；
第二次操作后，余下矩形的鄰邊長為（1-a），（2a-1）．
又∵該矩形為3階準(zhǔn)正方形，
∴2（1-a）=（2a-1）或（1-a）=2（2a-1），
解得：a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{3}{5}$．
∴當(dāng)長為1，寬為a的矩形（$\frac{1}{2}$＜a＜1）是3階準(zhǔn)正方形時，a的值為$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)正方形的剪法找出第二次操作后鄰邊長長度；（2）根據(jù)3階準(zhǔn)正方形的定義找出關(guān)于a的一元一次方程．