Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D的切線交BC于點E．
（1）求證：DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若四邊形ODEC是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接DO，先可證明EC為⊙O的切線，然后依據(jù)切線長定理可得到DE=EC，然后再證明∠1=∠B，從而得到EB=ED，從而可證明DE=$\frac{1}{2}$ BC．
（2）由四邊形ODEC為正方形，可得到DE=OC=EC=OD，從而可得到AC=2OC，BC=2EC，從而得到BC=AC，故此可證明△ABC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線．
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED．
又∵∠EDO=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1+∠A=90°．
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠1=∠B，
∴EB=ED，
∴DE=$\frac{1}{2}$ BC．
（2）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ODEC為正方形，
∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．
∵DE=$\frac{1}{2}$ BC，AC=2OC，
∴BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點評 本題主要考查的是切線的性質和判定、等腰直角三角形的性質和判定，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．