Question

6．如圖所示，在△ABC中，DF經(jīng)過△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，連接EF，如果BC=5，AC=$\sqrt{2}$AB，求證：△DEF∽△ABC．

Answer 1

分析 先判斷四邊形AEDF為平行四邊形得到∠EDF=∠A，再根據(jù)三角形重心性質(zhì)和平行線分線段成比例定理得到$\frac{DF}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，則CD=2BD，DF=$\frac{2}{3}$AB，接著由DE∥AC得到$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，則DE=$\frac{1}{3}$AC，于是可計算出$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2AB}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$，所以$\frac{DF}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，然后根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠EDF=∠A，
∵DF經(jīng)過△ABC的重心G，且DF∥AB，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=2BD，DF=$\frac{2}{3}$AB，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{3}AC}$，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{2AB}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{DF}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，
∵∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABC．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．也考查了三角形重心的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．