Question

15．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E、F，連接EF．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，由AAS證明△ABE≌△ADF即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，證明△AEF是等邊三角形，再由三角函數(shù)求出出AE、EF，過A作AM⊥EF于M，利用三角函數(shù)求出AM，即可求出△AEF的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}&{\;}\\{∠AEB=∠AFD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，∠BAE=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴EF=AE=2$\sqrt{3}$，
過A作AM⊥EF于M，如圖所示：
則AM=AE•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴△AEF的面積=$\frac{1}{2}$EF•AM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．