Question

4．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁．
（1）當(dāng)AC₁⊥BC時(shí)，CD的長(zhǎng)是多少？
（2）如果CD=3，請(qǐng)求出△AC₁D與△ABC重疊部分的面積；
（3）當(dāng)CD≤4時(shí)，在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在△BC₁D為直角三角形的情形？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AC₁與BC垂直時(shí)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，有CE=$\frac{1}{2}$BC=4，由勾股定理可求得AE=3，由于C₁D=CD，A₁C=AC，在Rt△C₁DE中，由勾股定理可求得ED的值，再求得CD的值；
（2）易證△ABE∽△D₁CE，得到AB：C₁D=AE：ED=BE：EC₁，先求得ED，再得到BE與CD的關(guān)系式；
（3）分兩種情況：當(dāng)C₁E=ED時(shí)和當(dāng)C₁E=C₁D時(shí)，可由（2）中的關(guān)系式求得．

解答 解：（1）如下圖，

設(shè)AC₁交邊BC于點(diǎn)E．
∵AC₁與BC垂直，AB=AC=5，BC=8，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{{AC}^{2}{-CE}^{2}}$=3，
∵C₁D=CD，AC₁=AC=5，EC₁=AC₁-AE，ED=EC-CD，
∴在Rt△EDC₁中，有ED²+EC₁²=C₁D²，即CD²=（5-3）²+（4-CD）²，
解得：CD=$\frac{5}{2}$；
（2）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C₁=∠C，
∴∠C₁=∠B，
又∵∠AEB=∠DEC₁，
∴△AEB∽△DEC₁，
∴AB：DC₁=AE：DE=BE：C₁E，
∴5：C₁D=AE：（8-BE-CD）=BE：（5-AE），
∵BE=y，CD=C₁D=x，
∴5：x=AE：（8-y-x）=y：（5-AE），
解得AE=$\frac{25-xy}{5}$，y=$\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$（0＜x＜4）；
（3）存在．
當(dāng)C₁E=ED時(shí)，由于△AEB∽△DEC₁，
則有y=BE=AE=$\frac{25-xy}{5}$，
∴y=$\frac{25}{x+5}$，
∴$\frac{25}{x+5}=\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$，
∴x=3，
∴CD=3，
當(dāng)C₁E=C₁D時(shí)，由于△AEB∽△DEC₁，則有y=$\frac{50（x-4）}{{x}^{2}-25}$=BE=AB=5，
∴x=5-$\sqrt{10}$或x=5+$\sqrt{10}$（舍），
∴CD=5-$\sqrt{10}$，
存在△BC₁D為直角三角形，此時(shí)CD=3，或CD=5-$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．用相似建立相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．