Question

15．楊輝是我國南宋時期杭州人，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了所示的三角形數(shù)表，被后人稱為“楊輝三角”：
              1
          1     1
        1     2    1
    1   3      3    1
1   4    6     4     1
1   5   10   10    5      1
…
按照上面的規(guī)律，第7行的第2個數(shù)是6；第n行（n≥3）的第3個數(shù)是$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 設第n行第2個數(shù)為a_n（n≥2，n為正整數(shù)），第n行第3個數(shù)為b_n（n≥3，n為正整數(shù)），根據(jù)給定“楊輝三角”的部分找出a_n、b_n的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“a_n=n-1，b_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$”，依此規(guī)律即可得出結論．

解答 解：設第n行第2個數(shù)為a_n（n≥2，n為正整數(shù)），第n行第3個數(shù)為b_n（n≥3，n為正整數(shù)），
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
∵a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=4，a₆=5，
∴a_n=n-1；
∵b₃=1，b₄=3=1+2=b₃+2，b₅=6=3+3=b₄+3，b₆=10=6+4=b₅+4，…，
∴b_n-b_n-1=n-2，
∴b_n=b₃+b₄-b₃+b₅-b₄+b₆-b₅+…+b_n-b_n-1=1+2+3+…+n-2=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$．
當n=7時，a₇=7-1=6．
故答案為：6；$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$．
15，$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$（第一問（1分），第2問2分）

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出變化的規(guī)律“a_n=n-1，b_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$”．本題屬于中檔題，找第三個數(shù)的變化規(guī)律是有點難度，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律是關鍵．