Question

如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，BE交AD于點(diǎn)F．若BF=3，AF=4，則CF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：延長FE至點(diǎn)G，使FG=AF，連接AG、CG，作FH⊥CG于H，先證△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，再證明△AFG是等邊三角形，得出FG=4，然后證明△ACG≌△ABF，得出CG=BF=3，∠FGC=60°，求出GH=

1

2

FG=2，F(xiàn)H=2

3

，CH=CG-GH=1，即可求出CF=

13

．

解答：解：延長FE至點(diǎn)G，使FG=AF，連接AG、CG，作FH⊥CG于H，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC   ∠ABC=∠BCA   BD=CE

∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=60°，
∵FG=AF，
∴△AFG是等邊三角形，
∴FG=AF=AG=4，∠FAG=∠AGF=60°，
∴∠CAG=∠BAF，
∴△ACG≌△ABF（SAS），
∴CG=BF=3，
∵∠CAG+∠ACG=∠BAD+∠ABF=60°，
∴∠AGC=120°，
∴∠FGC=60°，
∵FH⊥CG，
∴∠GFH=30°，
∴GH=

1

2

FG=2，F(xiàn)H=2

3

，
∴CH=CG-GH=1，
∴CF²=CH²+FH²=12+(2

3

)2=13，
∴CF=

13

；
故答案為：

13

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理的運(yùn)用；本題難度較大，通過作輔助線構(gòu)造等邊三角形，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．