Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設(shè)運動時間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時，求△ACP的面積；
（2）王老師提出一個問題：“當(dāng)t為何值時，線段AP是∠CAB的平分線？”聰明的小亮通過探索，得到如下思路：第一步：連結(jié)AP，若AP平分∠CAB，則點P在CB邊上．過點P作PD⊥AB，垂足為D，則△ACP≌△ADP，這時可求得AD，DB的長；第二步：在△PDB中，根據(jù)勾股定理，建立關(guān)于t的方程，通過解方程可求出t的值．請你根據(jù)小亮的思路，在備用圖1中補全圖形，并求出t的值；
（3）請你利用備用圖2來繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時，△ACP是等腰三角形？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度為每秒2cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后根據(jù)面積公式即可得到結(jié)果；
（2）如圖1，由勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根據(jù)已知條件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm，BD=AB-AD=4cm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（3）①如圖2，若P在邊BC上時，AC=CP=6cm，此時用的時間為3s，△ACP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時，有三種情況：（i）若使AP=CA=6cm，此時BP=4cm，P運動的路程為8+4=12cm，所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；ii）若CP=AC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，作CD⊥AB于點D，在Rt△PCD中，PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，則用的時間為5.4s，ACP為等腰三角形；ⅲ）若AP=CP，此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點，P運動的路程為8+5=13cm，則所用的時間為6.5s，△ACP為等腰三角形．

解答 解：（1）∵AC=6cm，PC=2×2=4cm，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•PC=$\frac{1}{2}×6×4$=12cm²；

（2）如圖1，∵∠C=90°，

∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
根據(jù)題意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6cm，BD=AB-AD=4cm，
PD=PC=2t，
∴PB=8-2t，
在R_t△PDB中，PD²+BD²=PB²，
∴（2t）²+4²=（8-2t）²，
解得：t=1.5；

（3）①如圖2，若P在邊BC上時，AC=CP=6cm，

此時用的時間為3s，△ACP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時，有三種情況：
（i）如圖3，

若使AP=CA=6cm，此時BP=4cm，P運動的路程為8+4=12cm，
所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，

若CP=AC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，
作CD⊥AB于點D，
在Rt△PCD中，PD=3.6，
所以AP=2PD=7.2cm，
所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，
則用的時間為5.4s，△ACP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，

若AP=CP，此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點，P運動的路程為8+5=13cm
則所用的時間為6.5s，△ACP為等腰三角形．
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△ACP為等腰三角形．

點評 本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．也考查了勾股定理和分類討論的思想．