Question

19．如圖1，正六邊形ABCDEF的面積為1，把它的各邊延長(zhǎng)一倍得到新正六邊形$\frac{3}{2}$（如圖2），稱(chēng)為第一次擴(kuò)展；則正六邊形$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的面積為3；把正六邊形$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$邊長(zhǎng)按原法延長(zhǎng)一倍得到正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂（如圖3），稱(chēng)為第二次擴(kuò)展；如此下去…，第n次擴(kuò)展得到正六邊形A_nB_nC_nD_nE_nF_n的面積為3ⁿ．

Answer 1

分析 本題建立在正六邊形背景上，進(jìn)行逐漸的圖形“拓展”變化，進(jìn)而從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié)拓展后正六邊形面積與原正六邊形面積之間的規(guī)律，復(fù)雜圖形中含有基本圖形（2），為學(xué)生研究提供的基本圖形，進(jìn)而得出從特殊歸納出一般性規(guī)律．

解答 解：∵拓展前后正六邊形是彼此相似的，∴可以利用相似圖形的性質(zhì)求出相似比，從而求出拓展后六邊形的面積，
∵正六邊形ABCDEF的面積為1，把它的各邊延長(zhǎng)一倍得到新正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁（如圖2），
則EF=FF₁，DE=EE₁，
∴EE₁=$\frac{1}{2}$F₁E，∠EE₁F₁=90°，
∴$\frac{EF}{{E}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁面積為：3，
∴正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂面積為：9，
以此類(lèi)推得出，第n次擴(kuò)展得到正六邊形A_nB_nC_nD_nE_nF_n的面積為：3ⁿ．
故答案為：3，3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)與相似圖形的性質(zhì)，本題解決的關(guān)鍵是尋找到拓展的正六邊形的面積于被拓展的正六邊形面積之間的關(guān)系．