Question

10．如圖，拋物線y=-x²+3x-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，∠ACB=∠BCP，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求出點(diǎn)A關(guān)于直線BC 的對(duì)稱點(diǎn)F′坐標(biāo)，求出直線CF′的解析式，利用方程組即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：令y=0，則-x²+3x-2=0，解得x=1或2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0），
令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-2）
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-2．
設(shè)過點(diǎn)A與直線BC垂直的直線AE的解析式為y=-x+m，（E為垂足），
把A（1，0）代入得到m=1，
∴直線AE的解析式為y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F′（2，-1），
設(shè)直線CF′的解析式為y=mx+n，則有$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直線CF′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，設(shè)直線CF′與拋物線交于點(diǎn)P，
根據(jù)對(duì)稱性可知∠PCB=∠ACB，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y=-{x}^{2}+3x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是取特殊點(diǎn)解決問題，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．