Question

以Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C為圓心，作一圓切斜邊AB于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)A，B分別作⊙C的切線，E，D為切點(diǎn)．求證：
（1）BC+AE=AB；
（2）BD∥AE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理由AE和AT為⊙O的切線得到AE=AT，由BD和BT為⊙O的切線得BD=BT，則AE+BD=AT+BT=AB；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠CAE=∠CAT，∠CBD=∠CBT，則∠CAB+∠CBA=90°，所以∠CAE+∠CAT+∠CBD+∠CBT=180°，即∠EAB+∠DBA=180°，于是可根據(jù)平行線的判定得到BD∥AE．

解答：證明：（1）∵AE和AT為⊙O的切線，
∴AE=AT，
∵BD和BT為⊙O的切線，
∴BD=BT，
∴AE+BD=AT+BT，
即BD+AE=AB；
（2）∵AE和AT為⊙O的切線，
∴∠CAE=∠CAT，
∵BD和BT為⊙O的切線，
∴∠CBD=∠CBT，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CAE+∠CAT+∠CBD+∠CBT=180°，
即∠EAB+∠DBA=180°，
∴BD∥AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了切線長(zhǎng)定理和平行線的判定．