Question

設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)．求方程x×[

11

x

]=12的解的個(gè)數(shù)及所有解x．

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算

專(zhuān)題：新定義,分類(lèi)討論

分析：當(dāng)x＞0時(shí)，由題可得[

11

x

]≤

11

x

＜

12

x

，從而得到x[

11

x

]＜12，因而原方程的解只可能是負(fù)數(shù)．然后只需對(duì)[

11

x

]分別取-1、-2、-3、…進(jìn)行討論，就可解決問(wèn)題．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，[

11

x

]≤

11

x

＜

12

x

，
則有x[

11

x

]＜12．
因而方程x[

11

x

]=12的解只可能是負(fù)數(shù)．
（1）當(dāng)x≤-11時(shí)，[

11

x

]=-1．
則原方程為-x=12．
解得：x=-12．
（2）當(dāng)-11＜x≤-

11

2

時(shí)，[

11

x

]=-2．
則原方程為-2x=12．
解得：x=-6．
（3）當(dāng)-

11

2

＜x≤-

11

3

時(shí)，[

11

x

]=-3．
則原方程為-3x=12．
解得：x=-4．
（4）當(dāng)-

11

3

＜x≤-

11

4

時(shí)，[

11

x

]=-4．
則原方程為-4x=12．
解得：x=-3．
（5）當(dāng)-

11

4

＜x≤-

11

5

時(shí)，[

11

x

]=-5．
則原方程為-5x=12．
解得：x=-

12

5

．
（6）當(dāng)-

11

5

＜x≤-

11

6

時(shí)，[

11

x

]=-6．
則原方程為-6x=12．
解得：x=-2．
（7）當(dāng)-

11

6

＜x≤-

11

7

時(shí)，[

11

x

]=-7．
則原方程為-7x=12．
解得：x=-

12

7

．
（8）當(dāng)-

11

7

＜x≤-

11

8

時(shí)，[

11

x

]=-8．
則原方程為-8x=12．
解得：x=-

3

2

．
（9）當(dāng)-

11

8

＜x≤-

11

9

時(shí)，[

11

x

]=-9．
則原方程為-9x=12．
解得：x=-

4

3

．
（10）當(dāng)-

11

9

＜x≤-

11

10

時(shí)，[

11

x

]=-10．
則原方程為-10x=12．
解得：x=-

6

5

．
（11）當(dāng)-

11

10

＜x≤-1時(shí)，[

11

x

]=-11．
則原方程為-11x=12．
解得：x=-

12

11

．
（12）當(dāng)-

11

n

＜x≤-

11

n+1

時(shí)，[

11

x

]=-（n+1）．（n≥11，n為整數(shù)）
則原方程為-（n+1）x=12．
解得：x=-

12

n+1

．
∵n≥11，∴

11

n

≤

12

n+1

．
∴-

11

n

≥-

12

n+1

．
∴x≠-

12

n+1

．
綜上所述：原方程共有11個(gè)解，原方程的解分別是-12、-6、-4、-3、-

12

5

、-2、-

12

7

、-

3

2

、-

4

3

、-

6

5

、-

12

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易．而對(duì)負(fù)整數(shù)[

11

x

]依次取-1、-2、-3、…進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．