Question

1．如圖1，已知拋物線y=a（x²-2mx-3m²）（a＞0，m＞0）交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．交y軸于點C．

（1）若m=1．求AB的長度；
（2）若a=1，m=1，P是對稱軸右側(cè)拋物線上的點．當(dāng)∠ACP=∠ABC時，求P點坐標(biāo)；
（3）如圖2．當(dāng)am=1時．點N（0，n）在y軸負半軸上（點N在點C下方），直線NB交拋物線于另一點D，直線NA交拋物線于另一點E，作EM⊥x軸于M．若$\frac{ND}{BD}$=$\frac{1}{2}$．試判斷$\frac{EM}{ON}$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）將m=1代入得：y=a（x²-2x-3），令y=0得：a（x-3）（x+1）=0，用因式分解法求得方程的解，然后可得到點A和點B的坐標(biāo)，故此可得到AB的長；
（2）將a=1，m=1代入得y=x²-2x-3，然后再求得點C和點B的坐標(biāo)，從而可知∠OCB=45°，故此∠ACP=45°，過點A作AD，⊥AC，取AD=AC，作射線CD交拋物線與點P，過點D作DE⊥x軸，垂足為E．接下來證明△ACO≌△DAE，于是可得到點D的坐標(biāo)為（2，1），然后再求得CD的解析式，最后將y=2x-3與y=x²-2x-3聯(lián)立可求得點P的坐標(biāo)；
（3）先求得點A和點B的坐標(biāo)（用含m的式子表示），過點D作DK⊥AB，垂足為K，然后證明△ODB∽△ONB，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到點K的坐標(biāo)為（m，0），然后再求得點D和點N的坐標(biāo)（用含a、m的式子表示），接下來，再利用待定系數(shù)法求得直線AN的解析式，將AN的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點E的橫坐標(biāo)，再證明△EMA∽△NOA，最后依據(jù)$\frac{ME}{ON}$=$\frac{AM}{OA}$求解即可．

解答 解：（1）將m=1代入得：y=a（x²-2x-3），令y=0得：a（x-3）（x+1）=0，
∵a≠0，
∴（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∴AB=4．

（2）將a=1，m=1代入得y=x²-2x-3．
將x=0代入得y=-3，
∴C（0，-3）．
令y=0得：x²-2x-3=0，由（1）可知：A（-1，0），B（3，0）．
∴OC=OB=3．
∴∠ABC=45°．
∵∠ACP=∠ABC，
∴∠ACP=45°．
如圖1所示：過點A作AD，⊥AC，使AD=AC，作射線CD交拋物線與點P，過點D作DE⊥x軸，垂足為E．

∵AD⊥AC，且AD=AC，
∴∠ACD=45°，即∠ACD=∠ABC．
∵∠CAE+∠EAD=90°，∠CAE+∠ACO=90°，
∴∠EAD=∠ACO．
在△ACO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠ACO}\\{∠AED=∠AOC=90°}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△DAE．
∴AE=OC=3，DE=AO=1．
∴點D的坐標(biāo)為（2，1）．
設(shè)CD的解析式為y=kx+b，將點C和點D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得k=2，b=-3，
∴直線CD的解析式為y=2x-3．
將y=2x-3與y=x²-2x-3聯(lián)立，解得x=4，y=5．
∴點P的坐標(biāo)為（4，5）．

（3）∵y=a（x²-2mx-3m²）=a（x+m）（x-3m），
∴A（-m，0），B（3m，0）．
如圖2所示：過點D作DK⊥AB，垂足為K．

∵DK∥ON，
∴△ODB∽△ONB．
∴$\frac{OD}{ON}=\frac{BK}{OB}=\frac{BD}{BN}$．
∵$\frac{ND}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{ON}=\frac{BK}{OB}=\frac{BD}{BN}$=$\frac{2}{3}$．
∴點K的坐標(biāo)為（m，0）．
將x=m代入代入拋物線的解析式得：y=-4am²，
∴點D的坐標(biāo)為（m，-4am²），則N（0，-6am²）．
設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，將點N和點A的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6a{m}^{2}}\\{-mk+b=0}\end{array}\right.$，
解得b=-6am²，k=-6am．
∴直線AN的解析式為y=-6amx-6am²．
∵am=1，
∴直線AN的解析式為y=-6x-6m．
將y=-6x-6m與y=a（x+m）（x-3m）聯(lián)立，解得x₁=-m（點A的橫坐標(biāo)），x₂=-$\frac{3}{a}$．
∴點E的橫坐標(biāo)為-$\frac{3}{a}$．
∵EM∥ON，
∴△EMA∽△NOA．
∴$\frac{ME}{ON}$=$\frac{AM}{OA}$，即$\frac{ME}{ON}$=$\frac{\frac{3}{a}-m}{m}$=$\frac{3}{am}$-1．
∵am=1，
∴$\frac{ME}{ON}$=$\frac{3}{1}$-1=2．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了因式分解法解方程，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造等腰直角三角形ADC，并求得點D的坐標(biāo)是解答問題（2）的關(guān)鍵；求得點E的橫坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．