Question

3．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）中，x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-3.5	-1	0.5	1	0.5	-1	-3.5	…

有下列結(jié)論：
①函數(shù)有最大值，且最大值為1；
②若x₀滿足y=ax₀²+bx+c，則2＜x₀＜3或-1＜x₀＜0；
③若方程ax²+bx+c+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根且m＜-1；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，當(dāng)m≠1時(shí)，有m（am+b）＜$\frac{1}{2}$．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的各種性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．

解答 解：①由表格給出的數(shù)據(jù)可知x=1時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為1，故此結(jié)論正確；
②當(dāng)2＜x＜3時(shí)，函數(shù)y的取值范圍為-1＜y＜0.5，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y的取值范圍為-1＜y＜0.5，所以，若x₀滿足y=ax₀²+bx+c，則2＜x₀＜3或-1＜x₀＜0，故本結(jié)論正確；
③∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)（-1，-1），頂點(diǎn)是（1，1），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，
∴-1=a（-1-1）²+1，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+1=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{1}{2}$，
∵方程-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{1}{2}$+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=1-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$+m）＞0，
解得m＞0，故此結(jié)論錯(cuò)誤；
④∵a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴m（am+b）-$\frac{1}{2}$=m（-$\frac{1}{2}$m+1）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（m-1）²，
∴m（am+b）-$\frac{1}{2}$的最大值為0
∵m≠1，
∴-$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m（am+b）＜$\frac{1}{2}$．故此結(jié)論正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法得出二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵，同時(shí)利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式的關(guān)系．