Question

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線ED交CB的延長線于F點，連接PF．
（1）求證：OD=OE；
（2）求證：PF是⊙O的切線；
（3）若∠POC=120°，AC=12，將扇形POA圍成一個圓錐的側(cè)面，求該圓錐的高．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形△OAD≌△OPE的對應邊相等證得結(jié)論；
（2）欲證明PF是⊙O的切線，只需推知OP⊥PF即可；
（3）易得∠POA=60°，設所求圓錐的高h，底面半徑為r，結(jié)合弧長公式和圓錐的側(cè)面展開圖進行解答．

解答 證明：（1）∵OD⊥BA于D，PE⊥AC于E，OA=OP，
∴在Rt△OAD和Rt△OPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠PEO}\\{∠AOD=∠POE}\\{OA=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OPE，
∴OD=OE．

（2）由（1）得OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，又AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，AB⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴CB∥OD，
∴∠ODE=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，從而CE=CF，
連接CP，則∠FCP=∠ACP，
∴CP是線段EF的垂直平分線，
∴PE=PF，
∴△CPE≌△CPF，
∴∠CFP=∠CEP=90°，
∴四邊形BDPF是矩形，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切線．
（3）若∠COP=120°，AC=12，則∠POA=60°，
設所求圓錐的高h，底面半徑為r，由 $\frac{60π•6}{180}$=2πr，r=1，h=$\sqrt{{6}^{2}-{1}^{1}}$=$\sqrt{35}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、吹徑定理以及圓錐的計算等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．