Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使∠ODB=∠AEC，AE與BC交于F．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)⊙O的半徑是5，BF=2$\sqrt{11}$，EF=$\frac{11}{3}$時(shí)，求CE及BH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代換得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形兩銳角互余得到一對(duì)角互余，等量代換得到∠OBD為直角，即可得到BD是圓O的切線；
（2）證明△CEF∽△ABF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的長(zhǎng)，由垂徑定理得出BH的長(zhǎng)．

解答 解：（1）BD是⊙O的切線；理由如下：
∵∠AEC與∠ABC都對(duì)$\widehat{AC}$，
∴∠AEC=∠ABC，
∵∠ODB=∠AEC，
∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線；

（2）∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF，
∴△CEF∽△ABF，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{EF}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$，即$\frac{CE}{10}=\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$，
解得：CE=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$；
連接BE，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
∴AF=AE-EF=$\frac{25}{3}$-$\frac{11}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴$\frac{CF}{\frac{14}{3}}$=$\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$，
解得：CF=$\frac{7\sqrt{11}}{9}$，
∴BC=BF+CF=$\frac{25\sqrt{11}}{9}$，
∵OE⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{25\sqrt{11}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．