Question

17．如圖，已知△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點都停止運動，設點P的運動時間為t（s）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥AC？
（2）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，由PQ∥AC，得到△BPQ∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，列方程即可得到結論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質可以知道這個直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ與PB的關系，要分情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{3-t}{3}=\frac{t}{3}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴當t=$\frac{3}{2}$時，PQ∥AC；

（2）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，
在△ABC中，∵AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①當∠BQP=90°時，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
②當∠BPQ=90°時，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
即3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2（秒）．
綜上所述：當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的判定，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．