Question

19．如圖，矩形AOCB的頂點B在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0$，x＞0）的圖象上，且AB=3，BC=8．若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位長度的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位長度的速度運動，當(dāng)其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求反比例函數(shù)的表達式．
（2）當(dāng)t=1時，在y軸上是否存在點D，使△DEF的周長最��？若存在，請求出△DEF的周長最小值；若不存在，請說明理由．
（3）在雙曲線上是否存在一點M，使以點B、E、F、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB與BC的長，且B為第一象限角，確定出B的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）運動1秒時，在y軸上存在點D，使△DEF的周長最小，理由為：作出E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接E′F，與y軸交于點D，連接DE，EF，此時△DEF周長最小，求出周長最小值即可；
（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，則有三種可能，已知E（t，8），F(xiàn)（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此時M在F右側(cè)，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，結(jié)合BE=FM，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
②BF∥EM，此時M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，結(jié)合ME=BF，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
③EF∥BM，易知點M一定不在反比例函數(shù)上．

解答 解：（1）由題可知點B的坐標(biāo)為（3，8），且點B在$y=\frac{k}{x}$上．
∴k=3×8=24，
∴反比例函數(shù)的表達式為：$y=\frac{24}{x}$．

（2）t=1時，E（1，8），F(xiàn)（3，6），則$EF=2\sqrt{2}$，
取E關(guān)于y軸的對稱E′（-1，8），
連接E′F，${E^′}F=2\sqrt{5}$，${C_{△DEF}}=DE+DF+EF=2\sqrt{2}+D{E^′}+DF≥2G+{E^′}F$，
∴${C_{△DEFmin}}=2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$，
此時點D為E′F與y軸交點，
∵E′（-1，8），F(xiàn)（3，6），
設(shè)E′F：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}-k+b=8\\ 3k+b=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴${E^′}F：y=\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}$，
∴此時$D（{0，\frac{15}{2}}）$，
即：y軸上存在點$D（{0，\frac{15}{2}}）$，使△DEF的圖長數(shù)小，且最小值為$2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$．

（3）存在，若四變形BEMF為平行四邊形，則有三種可能，已知E（t，8），F(xiàn)（3，8-2t），0＜t≤3．
①BE∥FM，此時M在F右側(cè)，$M（{\frac{24}{8-2t}，8-2t}）$，
又∵BE=FM，
∴$3-t=\frac{24}{8-2t}-3$，t²-10t+12=0，
解得${t_1}=5-\sqrt{13}$，${t_2}=5+\sqrt{13}$（舍）．
②BF∥EM，此時M在E正上方，$Mt（{t，\frac{24}{t}}）$，
∵ME=BF，
∴$\frac{24}{t}-8=2t$，t²+4t-12=0，
解得t₁=2，t₂=-6（舍）．
③EF∥BM，易知點M一定不在反比例函數(shù)上，
故綜上：t=2或$5-\sqrt{13}$．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．