Question

10．如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形BEFG，EF與AD相交于點(diǎn)H，延長DA交GF于點(diǎn)K．若正方形ABCD邊長為$\sqrt{3}$，則HD的長為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 連接BH，由正方形的性質(zhì)得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL證明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，AH=EH，由三角函數(shù)求出AH，即可得出HD的長．

解答 解：連接BH，如圖所示：
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=$\frac{1}{2}$∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB•tan∠ABH=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴HD=AD-AH=$\sqrt{3}$-1，
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．