Question

1．如圖，在?ABCD中，已知AB=a，BC=b，∠ABC=α
（1）連接AC，當a=4，b=6，α=60°，求AC的值；
（2）α為銳角，
①連接AC，求證：AC²＜a²+b²；
②連接BD，求證：BD²＞a²+b²；
（3）連接AC，BD，求證：AC²+BD²=2a²+2b²．

Answer 1

分析 設BE=c，作AE⊥BC于點E，DF⊥BC，交BC延長線于點F，
（1）先確定∠BAE=30°，繼而可得AE的長度；
（2）①在Rt△ACE中，運用勾股定理可得AC²=AE²+EC²，繼而可得結(jié)論；
②在Rt△BDF中，運用勾股定理可得BD²=DF²+BF²，繼而可得結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論，兩式相加即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖：設BE=c，作AE⊥BC于點E，DF⊥BC，交BC延長線于點F，
易得：AE=DF，BE=CF，
（1）在Rt△ABE中，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，EC=6-2=4，
由勾股定理得：AE=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{{AE}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）①在Rt△ACE中，∵AC²=AE²+EC²=a²-c²+（b-c）²=a²+b²-2bc，
∴AC²＜a²+b²；
②在Rt△BDF中，∵BD²=DF²+BF²=a²-c²+（b+c）²=a²+b²+2bc，
∴BD²＞a²+b²；
（3）由（2）得：AC²=a²+b²-2bc（A），
BD²=a²+b²+2bc（B），
（A）+（B）=AC²+BD²=2a²+2b²．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的知識，解答本題得關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握勾股定理的表達式．