Question

如圖，在Rt△ABC中∠ABC=90°，以AB為直徑作圓O交AC于E，連接E點和CB的中點D．
（1）DE是圓O的切線嗎？如果是請說明理由．
（2）若AE和AB的長度分別為一元二次方程x²-10x+24=0的兩個根，求BC的長度？

Answer 1

考點：切線的判定,解一元二次方程-因式分解法

專題：計算題

分析：（1）連結OE、BE，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質得到DE=DB=DC，再利用等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠3=∠4，則∠2+∠3=∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到DE是⊙O的切線；
（2）先解方程得到AE=4，AB=6，再證明Rt△ABE∽Rt△ABC，則利用相似比可計算出AC=9，然后利用勾股定理計算BC的長．

解答：解：（1）DE為圓O的切線．理由如下：
連結OE、BE，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴∠CEB=90°
又∵D為BC的中點，
∴DE=DB=DC，
∴∠1=∠2，
∵OE=OB，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，即∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解方程x²-10x+24=0得x₁=4，x₂=6，
∴AE=4，AB=6，
∵∠BAE=∠CAB，
∴Rt△ABE∽Rt△ABC，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，即

4

6

=

6

AC

，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=9，
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質．