Question

9．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，以三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求證：四邊形EFAD是平行四邊形；
（2）求四邊形EFAD的面積．

Answer 1

分析 （1）四邊形EFAD平行四邊形．根據(jù)△ABD，△EBC都是等邊三角形容易得到全等條件證明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定可以證明四邊形EFAD平行四邊形；
（2）由勾股定理逆定理得出△ABC為直角三角形，算出∠DAF=150°，進(jìn)一步得出∠AFE=30°，作AG⊥EF于點(diǎn)G，求得AG，求得面積即可．

解答 （1）證明：∵△ABD，△EBC都是等邊三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可證：AD=EF，
∴四邊形EFAD平行四邊形．
（2）解：∵在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為直角三角形，則∠BAC=90°，
∴∠DAF=150°，
∵AD∥EF，
∴∠AFE=30°，
作AG⊥EF于點(diǎn)G，

∴AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{3}{2}$，
∴四邊形EFAD的面積=AD•AG=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用已知條件解決問(wèn)題．