Question

14．△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，連接AD，BE，DE，已知BD=DE，AD=DC，∠ADB=∠EDC．
（1）如圖1，若∠ACB=40°，求∠BAC的度數(shù)；
（2）如圖2，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作AD的垂線，分別交AD、AC于點(diǎn)G、H．求證：AH=CH．

Answer 1

分析 （1）證明△ADB≌△CDE（SAS），得：∠BAD=∠ACB=40°，則∠BAC=80°；
（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先利用△EFH≌△BFN（AAS），得：BN=EH，再證明BN=BM，繼續(xù)證明△DEH≌△DBM，證明∠AMD=90°，所以∠AHD=90°，根據(jù)等腰三角形三線合一可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵AD=DC，∠ACB=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=80°，
在△ADB和△CDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴∠BAD=∠ACB=40°，
∴∠BAC=40°+40°=80°；

（2）如圖2，過B作BN∥AC，交HF的延長線于N，直線HF交AB于M，連接DH、DM，
∴∠BNM=∠EHF，
∵BF=EF，∠BFN=∠EFH，
∴△EFH≌△BFN（AAS），
∴BN=EH，
由（1）得：∠BAD=∠DAC，
∵FH⊥AD，
∴∠AGF=∠AGH=90°，
∵AG=AG，
∴△AMG≌△AHG（ASA），
∴AH=AM，∠AHM=∠AMH，
∵∠AMH=∠BMN，
∴∠BNM=∠BMN，
∴BN=BM，
∵△ABD≌△CED，
∴∠ABD=∠CED，
∵BD=DE，
∴△DEH≌△DBM，
∴∠BMD=∠AHD，
∵AM=AH，
∠BAD=∠DAH，AD=AD，
∴△AMD≌△AHD，
∴∠AMD=∠AHD，
∴∠AMD=∠BMD，
∵∠AMD+∠BMD=180°，
∴∠AMD=90°，
∴∠AHD=90°，
∵AD=CD，
∴AH=CH．

點(diǎn)評 本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角定理，作輔助線，構(gòu)建三角形全等是關(guān)鍵，第二問比較復(fù)雜，熟練掌握三角形全等的判定是關(guān)鍵．