Question

如圖，矩形ABCD，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線交AD于E，交BC于F，連結(jié)EB、DF．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）若AD=3，AB=

3

，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先證明△EDO≌△FBO，則EO=FO，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，證明四邊形DEBF是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判斷；
（2）設(shè)AE=x，則BE=DE=3-x，在Rt△AEB中，根據(jù)勾股定理BE²=AE²+AB²，即可列方程求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，∠DEF=∠BFE，
在△EDO和△FBO中，

∠EDB=∠DBF ∠DEF=∠BFE DO=BO

∴△EDO≌△FBO（AAS），
∴EO=FO，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
又∵DE⊥EF，
∴平行四邊形DEBF是菱形；

（2）解：設(shè)AE=x，則BE=DE=3-x，而AB=

3

，
在Rt△AEB中，根據(jù)勾股定理BE²=AE²+AB²，
∴（3-x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，
∴AE=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及菱形的判定方法，以及勾股定理的應(yīng)用，正確掌握菱形的判定定理是關(guān)鍵．