Question

如圖，將一塊直角三角形的直角頂點(diǎn)放在C（1，

1

2

）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好是直線y=kx+b與雙曲線y=

m

x

（m＞0）的交點(diǎn)，且AC=3

1

2

；
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求直線和雙曲線的表達(dá)式；
（3）設(shè)雙曲線y=

m

x

（m＞0）在A，B之間的圖象部分為L(zhǎng)，讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=

1

2

AB？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及AC=3

1

2

，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線，求出m的值，然后根據(jù)已知可得設(shè)點(diǎn)B（a，

1

2

），將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式，求出a的值，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=kx+b，求出解析式；
（3）用反證法證明．假設(shè)存在，運(yùn)用一元二次方程判別式即可解出．

解答：解：（1）∵C（1，

1

2

），AC=3

1

2

，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為：（1，4）；
（2）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線y=

m

x

（m＞0）得，m=4，
則反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

，
設(shè)點(diǎn)B為（a，

1

2

），
代入y=

4

x

得：

4

a

=

1

2

，
解得：a=8，
則點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，

1

2

），
將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y=kx+b得：

k+b=4 8k+b= 1 2

，
解得：

k=- 1 2 b= 9 2

．
則一次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x+

9

2

；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=

1

2

AB．
∵AC∥y軸，MP∥y軸，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽R(shí)t△MPN，
∴

MP

AC

=

MN

AB

=

1

2

，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，

4

x

）（1＜x＜8），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，-

1

2

x+

9

2

），
∴MP=-

1

2

x+

9

2

-

4

x

．
又∵AC=4-

1

2

=

7

2

，
∴-

1

2

x+

9

2

-

4

x

=

7

4

，
即2x²-11x+16=0，
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根，
∴不存在點(diǎn)P使得MN=

1

2

AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及了反比例函數(shù)的性質(zhì)及坐標(biāo)意義，難度較大．根據(jù)題意求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求出解析式是解答此題的關(guān)鍵．解答此題時(shí)同學(xué)們要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．