Question

10．a(chǎn)，b，c不全為0，滿足a+b+c=0，a³+b³+c³=0，稱使得aⁿ+bⁿ+cⁿ=0恒成立的正整數(shù)n為“好數(shù)”，則不超過2007的正整數(shù)中“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 1004
• C． 2006
• D． 2007

Answer 1

分析 首先得到a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc，根據(jù)a+b+c=0，a³+b³+c³=0得到3abc=0，從而根據(jù)a、b、c不全為零得到a、b、c中只有一個(gè)數(shù)為零，最終確定奇數(shù)滿足條件，從而確定前2007個(gè)整數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)即可確定好數(shù)的個(gè)數(shù)．

解答 解：a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc
∵a+b+c=0，a³+b³+c³=0，
∴3abc=0，
∵a、b、c不全為零，
∴a、b、c中只有一個(gè)數(shù)為零，
不妨設(shè)c=0，從而a=-b，
∴此aⁿ+bⁿ+cⁿ=0恒成立即（-b）ⁿ+bⁿ=0恒成立，
∴顯然滿足條件的正整數(shù)n為奇數(shù)，
即不超過2007的正整數(shù)中“好數(shù)”有1、3、5、…、2007共1004個(gè)，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意確定所有的奇數(shù)滿足條件，難度中等．