Question

5．如圖，已知直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交 于A、B兩點，連接OA、OB，AM⊥y軸于點M，BN⊥x軸于點N，下列結(jié)論：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時，ON=BN=1．④若∠AOB=45°，則S_△AOB=k；其中結(jié)論正確的是（　　）

• A． ②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=$\frac{k}{x}$，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
③延長MA，NB交于G點，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1；
④作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=$\frac{k}{x}$，中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴②△AOM≌△BON，故本選項正確；
①由②可知，OA=OB，故本選項正確；
③如圖1，延長MA，NB交于G點，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴當(dāng)AB=$\sqrt{2}$時，ON-BN=1，故本選項正確；
④如圖2，作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵①△AOM≌△BON，故本選項正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，故本選項正確．
故選D．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，能利用待定系數(shù)法求出點的坐標(biāo)，綜合運用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．