Question

已知直線y=2x與拋物線y=

1

4

x²+mx+n（m≠0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜x₂），拋物線與y軸交于點(diǎn)C，AC平行于x軸，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）平移直線y=2x，使平移后的直線以過點(diǎn)（a，0）（其中a＞0），試判斷平移后的直線與（1）中的拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），再根據(jù)AC平行于x軸得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，則可利用點(diǎn)A在直線y=2x上得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（

n

2

，n），
然后利用A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-

n

2

，-n），再把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=

1

4

x²+mx+n得到m、n的方程組，解方程組求出m、n即可；
（2）先求出平移后的直線解析式為y=2x-2a，當(dāng)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的函數(shù)值相等時(shí)，得到

1

4

x²+2x-16=2x-2a，整理得x²=8a+64，然后根據(jù)x的值的個(gè)數(shù)確定平移后的直線與（1）中的拋物線交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

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x²+mx+n=n，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），
∵AC平行于x軸，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，
把y=n代入y=2x得x=

n

2

，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（

n

2

，n），
∵點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-

n

2

，-n），
把A（

n

2

，n），B（-

n

2

，-n）分別代入y=

1

4

x²+mx+n得

n2 16 + 1 2 mn+n=n n2 16 - 1 2 mn+n=-n

，解得

m=2 n=-16

，
∴拋物線的解析式為y=

1

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x²+2x-16；
（2）直線y=2x平移后的解析式為y=2x+k，
把（a，0）代入得2a+k=0，解得k=-2a，
所以平移后的直線解析式為y=2x-2a，

1

4

x²+2x-16=2x-2a，整理得x²=8a+64，
當(dāng)-8a+64=0時(shí)，平移后的直線與（1）中的拋物線有1個(gè)交點(diǎn)，即a=8；
當(dāng)-8a+64＞0時(shí)，平移后的直線與（1）中的拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，即a＜8；
當(dāng)-8a+64＜0時(shí)，平移后的直線與（1）中的拋物線沒有公共點(diǎn)，即a＞8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．