Question

18．如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為△ABC內(nèi)一點，連接AD，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)至AE，使得∠DAE=∠BAC，F(xiàn)，G，H分別為BC，CD，DE的中點，連接BD，CE，GF，GH．
（1）求證：GH=GF；
（2）試說明∠FGH與∠BAC互補．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進而利用三角形中位線定理得出GH=GF；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FGH=∠DGF+∠HGD進而得出答案．

解答 證明：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵F，G，H分別為BC，CD，DE的中點，
∴HG∥CE，GF∥BD，且GH=$\frac{1}{2}$CE，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴GH=GF；

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵HG∥CE，GF∥BD，
∴∠HGD=∠ECD，∠GFC=∠DBC，
∴∠HGD=∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠ABD，
∠DGF=∠GFC+∠GCF=∠DBC+∠GCF，
∴∠FGH=∠DGF+∠HGD
=∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD
=∠ABC+∠ACB
=180°-∠BAC，
∴∠FGH與∠BAC互補．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確得出△ABD≌△ACE是解題關(guān)鍵．