Question

如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，M是BC的中點．P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．
（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當△APD是以AP為腰的等腰三角形時，求m的值．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可證明DB=2-m，AD=4-m，從而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：（1）由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴點D的坐標為（-2，4-m）．

（2）分三種情況
①若AP=AD，則4+m²=（4-m）²，解得m=

3

2

；
②若PD=PA
過P作PF⊥AB于點F（如圖），
則AF=FD=

1

2

AD=

1

2

（4-m）
又∵OP=AF，
∴m=

1

2

（4-m）則m=

4

3

③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=

1

2

PD=

1

2

AD=

1

2

（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴（2-m）²+1=

1

4

（4-m）²，
解得m₁=

2

3

，m₂=2（舍去）．
綜上所述，當△APD是等腰三角形時，m的值為

3

2

或

4

3

或

2

3

．

點評：此題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，以及分類討論思想的滲透．