Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3cm，BC=4cm，∠B=∠C=60°，點P從點A開始沿AB邊向點B運動，Q從C沿CD向D運動，過點Q作QE∥AB交BC于點E，連接AQ，PE，若點P，Q同時出發(fā)且均以1cm/s的速度運動．
（1）求證：四邊形APEQ是平行四邊形；
（2）點P運動幾秒，四邊形APEQ是矩形；
（3）當(dāng)點P運動到何處時，四邊形APEQ是菱形；
（4）四邊形APEQ可能是正方形嗎，為什么？

Answer 1

考點：正方形的判定,平行四邊形的判定,菱形的判定,矩形的判定

專題：動點型

分析：（1）證明AP=EQ即可得到結(jié)論；
（2）若四邊形APEQ是矩形，則△BPE為直角三角形，且∠B=∠C=60°，據(jù)此可以求得點P的運動時間．
（3）若四邊形APEQ是菱形，可以借用余弦定理來解決問題；
（4）四邊形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，可以得到答案．

解答：解：（1）∵QE∥AB，
∴∠QEC=∠B=∠C=60°，即△QEC是等邊三角形，
∴QE=EC=CQ=AP，四邊形APEQ是平行四邊形．
 （2）當(dāng)四邊形APEQ是矩形時，∠PAQ=BPE=90°，
 在Rt△BPE中，
∵∠B=60°，
∴∠BEP=30°，
∴BP=

1

2

BE=

1

2

（BC-CE）=

1

2

（4-CE），
BP=AB-AP=3-AP，AP=CE=2，
即P運動2秒，四邊形APEQ是矩形．
（3）當(dāng)四邊形APEQ是菱形時，
設(shè)AP=PE=EQ=QA=x，PB=3-x，BE=4-x
在△PBE中，應(yīng)用余弦定理得：PE²=PB²+BE²-2PB×BEcos∠B
x²=（3-x）²+（4-x）²-2（3-x）×（4-x）×cos60°，解得x=

13

7

，
（4）四邊形APEQ不能是正方形．由（2）知Rt△BPE中，∠B=60°，∠BEP=30°，
必有PE=

3

2

BE，但EQ=EC=4-BE，從而PE≠EQ．

點評：本題考查了四邊形的判定與證明方法，以及特殊四邊形的判定與證明的方法，解題的關(guān)鍵在于熟練記憶特殊四邊形的性質(zhì)定義．