Question

12．如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角形的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t=0s時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm．
（1）半圓O在運(yùn)動過程中，試判斷點(diǎn)A與半圓O的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)t為何值時，直線AB與半圓O所在的圓相切；
（3）在（2）的條件下，如果半圓面積與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求半圓面與△ABC重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）求得AC的長后與半圓的半徑比較大小后即可確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
（2）過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)，當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時點(diǎn)O運(yùn)動了8cm，所求運(yùn)動時間為t=4；當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時，過點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q，利用直角三角形可求得點(diǎn)O運(yùn)動了32cm，可求出時間t；
（3）在（2）的條件下，只有當(dāng)t=4時符合條件，利用圓扇形的面積可求得面積．

解答 解：（1）∵DE=12cm，
∴R=6cm，
∵BC=12cm，∠ABC=30°，
∴AC=tan30°BC=4$\sqrt{3}$＞BC，
∴半圓O在運(yùn)動過程中點(diǎn)A在半圓O外；

（2）①如圖1，過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；

∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時，
又∵圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時點(diǎn)O運(yùn)動了8cm，所求運(yùn)動時間為t=8÷2=4（s），
②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12cm時，如圖2，過點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．此時點(diǎn)O運(yùn)動了32cm．
所求運(yùn)動時間為：t=32÷2=16s，
綜上可知當(dāng)t=4s或16s時，AB與半圓O所在的圓相切；
（3）當(dāng)半圓O與AB邊相切于M時，如圖1，S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π．

點(diǎn)評 此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．利用時間t來表示線段之間的關(guān)系是動點(diǎn)問題中是常用的方法之一，要會靈活運(yùn)用．并能根據(jù)圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．